El estimado bootstrap ideal del sesgo se obtiene sustituyendo F por su distribución empírica Fˆ está dado por

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Carla Rivero Castellanos
hace 5 años
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1 Estimació del sesgo por bootstrappig El Sesgo de u estimador θˆ es otra medida de precisió. Sea x=(x,x, X ) ua muestra aleatoria de ua variable aleatoria que tiee distribució F y sea θ=t(f) u parámetro que sea estimar. Se defie el sesgo del estimador θˆ =s(x) por Sesgo F (θˆ,θ)= E F (θˆ )-θ=e F [s(x) ]-t(f) Ejemplo: Dada ua distribució F, θˆ = x es u estimador isesgado de θ=µ. O sea Sesgo F (θˆ,θ)=0 Ejemplo: Si F es ua distribució uiforme e (0,θ) y ˆ θ = max( X,..., X ) etoces Sesgo F (θˆ,θ)= E F (θˆ )-θ= θ θ = θ + + El estimado bootstrap ideal del sesgo se obtiee sustituyedo F por su distribució empírica Fˆ está dado por Sesgo Fˆ ( ˆ, θ θ ) = E ˆ F [ s( x*)] t( Fˆ dode x* es ua muestra bootstrap de x. Aquí el valor esperado se aproxima usado todas las muestras co reemplazo que se puede extraer de la muestra origial. E la practica el estimado bootstrap ideal del sesgo es aproximado tomado B muestras bootstrap de la muestra origial x. Así el estimado bootstrap de θ basado e B repeticioes está dado por Sesgo ( ˆ, ) ˆ * ( ˆ B θ θ = θ t F ) dode ˆ θ * es el promedio de las estimacioes de θˆ =s(x) e cada muestra bootstrap. Ejemplo. Dada la siguiete muestra estimar por bootstrap el sesgo del estimador del máximo usado 000 muestras bootstrap. sesgomaxboot=fuctio(muestra,b){ obs=legth(muestra) bootsample=matrix(0,b,obs) for(b i :B) { )

2 bootsample[b,]=sample(muestra,obs,replace=t) bootmax=apply(bootsample,,max) sesgo=mea(bootmax)-max(muestra) sesgo x=c(, 7, 9, 40, 4, 9,, 4) > sesgomaxboot(x,000) [] El teórico es -40/9= Ejemplo. Estimador de razó. Los siguietes datos represeta la població e miles de 0 ciudades de US segú los cesos de 90(x) y 90(y). i X Y La població total e 90 se puede estimar multiplicado la població total e 90 por el estimador θ=e(y)/e(x), el cual es llamado u estimador de razó. Dada u par de variables aleatorias X y Y distribuidas cojutamete se desea estimar el EY ( ) parámetro θ =, el estimador muestral será ˆ y θ =. EX ( ) x La siguiete fució e R halla el estimador por bootstrappig del error estádar y sesgo de u estimador de razó usado B muestras bootstrap. bootratio=fuctio(data,b) {# esta fucio halla el error estadar y el sesgo estimado #por bootstrappig de ua razo obs=dim(data)[] thetaest=mea(data[,])/mea(data[,]) bootrat=rep(0,b) for (b i :B) {bootidex=sample(:obs,obs,replace=t) bootrat[b]=mea(data[bootidex,])/mea(data[bootidex,]) seboot=sd(bootrat) cat( El error estadar estimado por bootstrappig de la razo es",seboot, \ ) biasboot=mea(bootrat)-thetaest cat( El sesgo estimado por bootstrappig de la razo es",biasboot, \ )

3 Aplicado la fució a los datos co B=000 y B=0000 muestras bootstrap se obtiee > brazo=bootratio(pobla,000) El error estadar estimado por bootstrappig de la razo es El sesgo estimado por bootstrappig de la razo es La razó del sesgo co respecto al error estádar es >.0460/.64 [] brazo=bootratio(pobla,0000) El error estadar estimado por bootstrappig de la razo es El sesgo estimado por bootstrappig de la razo es La razó del sesgo co respecto al error estádar es >.076/.9 [] 0.76 Usualmete el úmero de muestra bootstrap ecesarias para estimar el sesgo es mayor que el úmero de muestras requeridas para estimar el error estádar, debido es la mayor variablidad presete e la estimació del sesgo como lo muestra los siguietes resultados para el ejemplo aterior. B CV(se B ) CV(Sesgo B ) Ejemplo: Estimació por Boostrappig del error estádar y sesgo del coeficiete de asimetría (skewess) Sea X ua variable aleatoria co media µ etoces la medida de asimetría de su distribució se defie por E( X µ ) γ = [ E( X µ ) ] /. Usado el método de estimació por mometos para el segudo y tercer mometo cetral se tiee que la asimetría puede ser estimada por

4 skew = = [ ] / ( xi ] / Hay muchas otras variates de la formula. Recordado que σ estimado de σ,produce el siguiete estimado skew = s [ = E ( X µ) y que s es u Esta forma de estimado es el que usa la fució skewess de la librería fbasics de R. La siguiete fució e R calcula el skewess de ua variable aleatoria X. skewess=fuctio (x) {a=sqrt(legth(x))*sum((x-mea(x))^) b=(sum((x-mea(x))^))^.5 skew=a/b La siguiete fució de R calcula la estimació por boostrappig del error estádar y del sesgo del skewess de ua variable aleatoria X. bootskew=fuctio(data,b) {# esta fucio halla el error estadar y el sesgo estimado #por bootstrappig de ua razo obs=legth(data) thetaest=skewess(data) bootskew=rep(0,b) for (b i :B) {bootsample=sample(data,obs,replace=t) bootskew[b]=skewess(bootsample) seboot=sd(bootskew) cat("el error estadar estimado por bootstrappig del skewess es",seboot) biasboot=mea(bootskew)-thetaest cat("\el sesgo estimado por bootstrappig del skewess es",biasboot,"\") Ua aplicació a las dos variables del cojuto brai produce los siguietes resultados bootskew(brai[,],00) El error estadar estimado por bootstrappig del skewess es El sesgo estimado por bootstrappig del skewess es

5 > bootskew(brai[,],500) El error estadar estimado por bootstrappig del skewess es El sesgo estimado por bootstrappig del skewess es > bootskew(brai[,],000) El error estadar estimado por bootstrappig del skewess es El sesgo estimado por bootstrappig del skewess es > bootskew(brai[,],00) El error estadar estimado por bootstrappig del skewess es El sesgo estimado por bootstrappig del skewess es > bootskew(brai[,],500) El error estadar estimado por bootstrappig del skewess es El sesgo estimado por bootstrappig del skewess es > bootskew(brai[,],000) El error estadar estimado por bootstrappig del skewess es El sesgo estimado por bootstrappig del skewess es > Solamete e el caso de estimadores plug-i existe ua mejor maera de estimar el sesgo por bootstrappig usado u cocepto llamado de vector de remuestreo pero o será discutida aquí (ver Efro y Tibshirai, pags 0-). Estimado bootstrap de u estimador corregido por sesgo La razó pricipal de estimar el sesgo es corregir el estimador iicial θˆ haciédolo meos sesgado. Luego el estimador de θ corregido por sesgo será θ = ˆ θ SesgoB ( ˆ, θ θ ) O equivaletemete, θ = ˆ θ ( ˆ θ * ˆ) θ = ˆ θ ˆ θ * E el ejemplo de la razó de poblacioes se tiee que ˆ θ =. 50 y el estimado del sesgo basado e 000 muestras bootstrap es Luego el estimador corregido por sesgo será θ = =.474

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